Bahan Kuis Analisis Real II

Berikut ini Bahan Kuis Analisis Real II Rek :

Readmore >>>

Posted in matematika

Mengeksplorasi Teka-Teki Angka (TTA)

Perhatikan teka-teki angka  berikut ini:

Suatu bilangan terdiri dari empat angka. Angka pertama nilanya sama dengan angka kedua ditambah angka ketiga. Angka pertama juga sama nilainya dengan angka keempat ditambah satu. Begitupula angka kedua ternyata nilainya sama dengan angka ketiga ditambah satu. Bila angka keempat sama dengan dua kali angka ketiga, maka berapa bilangan (empat angka) tersebut?

Teka-teki semacam ini banyak kita temukan dalam buku-buku TTS* atau TTA (Teka-teki Angka) yang sering dijual di kios-kios koran di pinggir jalan. Biasanya para konsumen kedua jenis buku ini adalah mereka-mereka yang punya banyak waktu luang dan suka iseng mengisi waktunya. Ketimbang bengong tak bermanfaat, mending mengisi TTS atau TTA. Begitu barangkali alasannya. Betul ga?
Dulu, ketika melihat banyak orang yang begitu asyik mengerjakan TTS ataupun TTA, saya jadi tergoda. Ya, saya tergoda untuk mengerjakannya pula. Kemudian dapat ditebak, saya pun membeli kedua jenis buku ini. Satu buku TTS dan satu buku lagi TTA.

TTS sudah biasa! Ya, saya biasa mengalami kesulitan untuk mengisi semua kotak-kotak kosong yang tersedia. Mungkin karena tak terbiasa ataupun karena pengetahuan saya yang minim. Makanya sukar bagi saya bisa mengisi keseluruhan kotak kosong dalam sebuah TTS.

Kemudian buku TTA saya buka. Saya lihat-lihat. Satu jenis teka-teki yang ada dalam buku TTA yang saya beli yakni seperti teka-teki angka pada contoh di atas. Ketika membaca teka-teki semacam contoh tersebut, saya melihat sebetulnya teka-teki semacam itu menggunakan konsep matematika sederhana yang pernah saya kita pelajari sewaktu di SMP dan SMA, yaitu tentang sistem persamaan linear. Tetapi, setelah dipikir-pikir, untuk menyelesaikan teka-teki angka semacam itu, kita tak harus tahu sistem persamaan linear. Cukup dengan cara coba-coba alias trial and error bila kita beruntung, maka kita akan dapat memecahkan teka-teki tersebut.
Sebagai contoh, mari kita selesaikan teka-teki di atas dengan cara coba-coba seperti berikut ini.

Suatu bilangan terdiri dari empat angka. (Kita ingat-ingat, berarti bilangannya ada empat digit/angka. )
Angka pertama nilanya sama dengan angka kedua ditambah angka ketiga. (Kita pilih angka pertama misalkan . Kita ingat-ingat juga angka ini merupakan jumlah dari angka kedua dan ketiga, ini berarti angka kedua atau ketiga nilanya lebih kecil atau sama dari angka pertama.)
Angka pertama sama nilainya dengan angka keempat ditambah satu. (Karena tadi kita sudah pilih angka pertama adalah , maka dari keterangan ini dapat kita tentukan angka keempat yakni , sebab ).
Begitupula angka kedua ternyata nilainya sama dengan angka ketiga ditambah satu. (Karena angka kedua dan ketiga lebih kecil dari angka pertama, kita pilih angka kedua itu . Sehingga, angka ketiga berarti , sebab .)
Bila angka keempat sama dengan dua kali angka ketiga, (Kita sudah tahu angka keempat yaitu dan ini cocok dengan pilihan kita tentang angka ketiga, yakni .
maka berapa bilangan (empat angka) tersebut?
Maka jawabnya, bilangan empat angka itu adalah .

Dengan cara coba-coba, ternyata kita dapat memecahkan teka-teki angka tersebut. Jawabannya yaitu . Tetapi sebentar, jangan gembira dulu, apakah ini satu-satunya jawaban?
Ternyata tidak! Setelah dipikir-pikir, ternyata bilangan juga memenuhi persyaratan teka-teki tersebut. (Silakan periksa! ). Ternyata juga bilangan memenuhi persyaratan teka-teki angka tersebut.
Lho, kok bisa banyak jawaban begini ya?

Sebetulnya banyak jawaban tidaklah bermasalah. Malah teka-teki tersebut tergolong sangat bagus. Satu permasalahan dengan banyak alternative jawaban. Istilah kerennya, teka-teki yang bersifat open-ended.
Pertanyaannya, ada berapa banyak alternative jawaban dari teka-teki angka tersebut?
Nah, di sinilah peran konsep matematika diperlukan! Dengan menggunakan konsep matematika, kemungkinan besar kita akan tahu alasan kenapa banyak jawaban. Dengan itu pula mungkin sekali kita tahu semua alternative jawabannya. Karena itu mari kita selesaikan teka-teki angka tersebut dengan konsep sistem persamaan linear seperti berikut ini.

Misalkan bilangan itu adalah .

Maka sesuai keterangan pada teka-teki di atas, diperoleh sistem persamaan linear berikut ini.

dan .

Dengan mudah, bila kita pilih , maka kita akan peroleh , , dan . Sehingga bilangan sebagai satu alternative jawaban teka-teki angka di atas adalah .

Begitu pula bila kita pilih , maka akan kita dapatkan , , dan . Sehingga jawaban lain dari teka-teki di atas adalah .

Dengan memilih nilai yang lain, maka kita akan dapatkan jawaban lain dari teka-teki angka tersebut. Silakan cari sendiri yaaa….

Nah, asyik bukan?

Sekarang, sebagai bahan latihan bagi kita Anda semua, silakan buat teka-teki angka semacam di atas, kemudian silakan jawab sendiri, silakan eksplorasi sendiri teka-teki angka buatan Anda! Selamat mencoba! I hope you enjoy doing mathematics.  And, in a similar way, I hope you can not stop loving me mathematics.

========================================================

Segitu dulu ya perjumpaan kita kali ini. Mudah-mudahan artikel ini bermanfaat bagi kita semua. Amin. Sampai jumpa di artikel mendatang.

Readmore >>>

Posted in matematika

“Rahasia” Teka-Teki Matematika

Berikut ini satu contoh teka-teki matematika yang sangat terkenal*. Sering dipakai oleh banyak orang untuk berteka-teki. Walaupun “angka-angka” dan konteks yang dipakai dalam teka-teki berikut ini seringkali berbeda, tetapi prinsip teka-tekinya tetaplah sama**.

Tiga sekawan masuk ke hotel untuk menginap. Kata petugas, harga sewa kamarnya Rp. . Masing-masing mengumpulkan uang Rp. untuk membayarnya. Setelah ketiga orang tadi pergi menuju kamar, sang petugas sadar bahwa harga sewa kamarnya seharusnya cuma Rp. .

Kemudian sang petugas meminta Bel-boy untuk menyerahkan uang Rp. kepada ketiga orang tadi. Karena uang Rp. berbentuk pecahan Rp , si Bel-boy hanya menyerahkan uang kepada ketiga orang tadi sebesar Rp. , sedangkan yang Rp. disimpan untuknya. Uang yang Rp. tersebut dibagi-bagi ke tiga orang tadi, masing-masing Rp..

Sehingga, bila dihitung-hitung, masing-masing orang hanya membayar Rp. . Jadi, bertiga sebenarnya membayar Rp. Rp . Bila ditambahkan ke uang Rp. yang dipegang si Bel-boy, maka jumlahnya Rp. . Lantas yang Rp. lagi ke mana?

Bagaimana, apakah Anda dapat memecahkan teka-teki tersebut? Bila belum, Anda boleh membaca pemecahannya seperti uraian berikut. Bila Anda dapat memecahkannya, saya ucapkan selamat atas keberhasilannya. Namun Anda pun boleh membandingkannya dengan cara pemecahan berikut ini.

Sebenarnya uang yang Rp. tidak pergi ke mana-mana. Tidak hilang, tidak lenyap. Jumlah uang yang beredar di teka-teki tersebut tetap saja Rp . Tapi apa buktinya? Mari kita hitung perlahan-lahan.

Uang yang diterima petugas mula-mula Rp. kemudian diserahkan ke Bel-boy Rp. sehingga uang yang kini dipegang petugas Rp. .

Oleh Bel-boy, uang sebesar Rp. cuma diserahkan sebesar Rp. ke ketiga orang tadi. Sehingga si Bel-boy sekarang memegang Rp. .

Karena ketiga orang tersebut menerima kembali uang mereka sebesar Rp. dan masing-masing orang kebagian Rp. , maka ini artinya mereka masing-masing mengeluarkan uang Rp. . Karena ada tiga orang, ini artinya mereka bersama mengeluarkan Rp. Rp. . Nah, jumlah uang ini sama dengan uang yang dipegang petugas (Rp. ) ditambah uang yang sekarang dipegang Bel-boy (Rp. ), yaitu Rp. Rp. Rp. .

Nah, bila uang Rp. itu kita tambah dengan uang yang diserahkan ke ketiga orang tadi, yaitu Rp. maka jumlah uang yang beredar pada teka-teki tersebut adalah tetap, yaitu Rp. .

Walaupun teka-teki tersebut biasanya hanya untuk selingan ketika kita ngobrol dengan teman-teman, di warung kopi misalnya, tapi teka-teki semacam ini bisa bermanfaat bila diterapkan di dunia pendidikan kita. Setidaknya, bisa digunakan untuk memancing siswa agar tertarik pada pelajaran matematika atau bahasa.

Lantas, apa saja guna teka-teki tersebut bagi dunia pendidikan kita, bagi siswa-siswi kita di sekolah? Bila memang berguna bagaimana menyajikannya?

Menurut saya, teka-teki semacam ini, selain dapat digunakan sebagai selingan pada pelajaran matematika, juga dapat digunakan pada pelajaran bahasa. Kenapa? Karena dalam teka-teki ini kecermatan penggunaan kata dan kalimat sangat berperan dalam memahami dan menyelesaikan masalah pada teka-teki ini.

Dengan perkataan lain, teka-teki ini selain mengajari kelihaian bermatematika juga mengajari keterampilan “bersilat kata” dalam pelajaran bahasa. Jadi, untuk kasus teka-teki ini, terlihat jelas kaitan antara pelajaran matematika dan bahasa, yang sama-sama merupakan “sarana” untuk berfikir, bersilat “angka” dan bersilat “kata” dalam waktu yang nyaris bersamaan***.

Oh, iya. Bisa jadi teka-teki semacam ini dapat digunakan untuk menarik minat masyarakat pembaca yang katanya pusing bila berhadapan dengan “angka-angka biasa” dalam matematika, tapi tidak pusing bahkan senang bila berhadapan dengan “angka-angka” yang terkait dengan uang. Mungkin teka-teki semacam inilah yang bisa dijadikan contoh bagi macam pembaca tersebut.

Oh, iya lagi. Untuk kali ini saya sengaja tidak menyajikan ide dan cara bagaimana teka-teki ini disajikan dengan menarik pada siswa-siswi di sekolah. Oleh karena itu, saya nantikan pendapat Anda sekalian, khususnya bapak atau ibu guru matematika atau bahasa. Sekali-kali boleh juga bukan? Saya undang Anda untuk menyumbangkan ide dan sarannya, di kolom komentar tentunya. Atas sumbangan ide dan sarannya saya ucapkan terimakasih.

Readmore >>>

Posted in matematika